Während du beim Ableiten fast immer eine Regel hast, die passt
Gibt es beim Integrieren keine Methoden, mit denen du alles schaffst
Klar, wenn man sich eine Summe anguckt
Dann ist das ziemlich einfach, doch anders ist es bei einem Produkt
Hier gibt es keine Regel, wie das allgemein geht
Doch eine Umformung, bei der ein anderes Integral hier steht
Und manchmal hilft das weiter und man ist damit froh
Und das Ganze geht so
Du suchst dir von einer der Funktionen eine Stammfunktion
Und bildest das Produkt mit der anderen Funktion
Minus das Integral von der Stammfunktion
Mal die Ableitung der anderen Funktion
Und löst du jetzt mal
Dieses Integral
Dann hast du es bis zum Ergebnis geschafft
Und damit
Partielle Integration gemacht
Du suchst dir von einer der Funktionen eine Stammfunktion
Und bildest das Produkt mit der anderen Funktion
Minus das Integral von der Stammfunktion
Mal die Ableitung der anderen Funktion
Und löst du jetzt mal
Dieses Integral
Dann hast du es bis zum Ergebnis geschafft
Und damit
Partielle Integration gemacht
Wie du siehst, steht in dem neuen Integral
Je einmal Stammfunktion und Ableitung und du hast die freie Wahl
Welchen der beiden Faktoren du jeweils differenzierst und integrierst
Vielleicht merkst du, was gut geht, indem du rumprobierst
Es bietet sich beispielsweise an, Polynome zu differenzieren
Und Kosinus, Sinus und e hoch x sind gut zum Integrieren
Es braucht halt Übung bis du dein Vorgehen weißt
Zum Beispiel hier rechnest du plötzlich mal eins und
Du suchst dir von einer der Funktionen eine Stammfunktion
Und bildest das Produkt mit der anderen Funktion
Minus das Integral von der Stammfunktion
Mal die Ableitung der anderen Funktion
Und löst du jetzt mal
Dieses Integral
Dann hast du es bis zum Ergebnis geschafft
Und damit
Partielle Integration gemacht
Du suchst dir von einer der Funktionen eine Stammfunktion
Und bildest das Produkt mit der anderen Funktion
Minus das Integral von der Stammfunktion
Mal die Ableitung der anderen Funktion
Du siehst dieses Mal
Hier wieder das gleiche Integral
Da stellst du das um und hast es geschafft
Und damit
Partielle Integration gemacht
Nimm dir mal das Produkt groß F mal klein g
Und differenziere jetzt diese Funktion, ok
Löst du die Ableitung jetzt durch ein Integral wieder auf
Dann kommt da bis auf eine Konstante die Funktion wieder raus
Nimm für die Ableitung die Produktregel u Strich v
Plus u v Strich, ganz genau
Und jetzt wird das zweite Integral subtrahiert
Wodurch man übrigens auch die Konstante verliert
Denn die steckt ja in dem unbestimmten Integral drin
Also stimmt diese Formel und jetzt schauen wir mal hin
Produkt mit der Stammfunktion minus das Integral
Von Stammfunktion mal Ableitung. Genial
Du suchst dir von einer der Funktionen eine Stammfunktion
Und bildest das Produkt mit der anderen Funktion
Minus das Integral von der Stammfunktion
Mal die Ableitung der anderen Funktion
Und schaust du jetzt mal
Auf das Integral
Dann siehst du dieses mal
Steht ein Produkt hier, also alles nochmal
Du suchst dir von einer der Funktionen eine Stammfunktion
Und bildest das Produkt mit der anderen Funktion
Minus das Integral von der Stammfunktion
Mal die Ableitung der anderen Funktion
Und löst du jetzt mal
Dieses Integral
Dann hast du es bis zum Ergebnis geschafft
Und damit
Partielle Integration gemacht