Ein wichtiges Thema in Mathe,
Dass kann man nicht abstreiten,
Ist Analysis und dabei auch das Ableiten.
Denn damit findet man die Steigung des Funktionsgraphen.
Und es kann durchaus sein,
Dass wir eine Funktion haben,
Die wiederum aus 'nem Quotienten besteht.
Will man die ableiten, dann bleibt nur noch die Frage wie das geht.
Wir nennen die Funktion im Nenner
Einfach mal v, und die im Zähler noch u.
Dann is die Ableitung genau:
(U'v-uv')/v²
Die Ableitung von u/v ist:
(U'v-uv')/v²
Wenn ihr das ganze an 'nem Beispiel seht,
Dann glaub ich mal, dass ihr besser versteht, wie das geht.
So wie x Quadrat plus 1 geteilt durch x minus 2 und mit dem u dort
Oben und dem v da unten ist dabei halt
Die Ableitung von u 2x und die von v ist 1.
Jetzt setzten wir das in die Quotientenregel ein:
U'v ist dann halt 2x mal x minus 2
Minus uv' macht minus x Quadrat plus 1.
Einwandfrei.
Im Nenner v Quadrat ist x minus 2 hoch 2.
Und jetzt ist das schon unsere Ableitung,
Wobei wir noch vereinfachen können,
Wenn wir im Zähler die Klammern weglassen und
Dann noch die Terme mit dem x Quadrat zusammenfassen.
Und jetzt steht hier unsere Ableitung da.
Mit der Quotientenregel ist die ganze Rechnerei klar.
Entweder hast du halt ein Tafelwerk,
Worin die Regel steht,
Oder du denkst an diesen Song und weißt: Die Regel geht:
(U'v-uv')/v²
Die Ableitung von u/v ist:
(U'v-uv')/v²
Und jetzt der Beweis: Sagen wir mal, wir hätten zwei Funktionen.
Die heißen u und v und weiterhin würde es sich lohnen, w
Enn beide differenzierbar und v niemals 0 wäre,
Denn kommt uns garantiert auch nichts in die Quere,
Wenn wir u durch v teilen und die Funktion dann f nennen.
Jetzt suchen wir davon die Ableitung - die solltest du kennen:
Als den Grenzwert des Differenzenquotienten,
F von x+h minus f von x durch h und jetzt wenden wir an,
Dass f ja grade u geteilt durch v ist und wenn ich das einsetze und
Danach genau schau,
Ist das doch Bruchrechnung - also rechnen wir das
Halt aus und dann kommt da eben dieser Bruch hier raus.
Wenn wir im Zähler einfach u mal v subtrahieren und danach wieder
Addieren, wird dadurch auch nichts passieren und das h schreiben wir
Jetzt einfach mit in den Nenner und das Zeug mit dem v davor - da
Sieht man schneller: da v differenzierbar ist, ist v auch stetig,
Also konvergieren die Funktionswerte und es bestätigt sich der
Eindruck, dass sich einfach 1 durch v Quadrat ergibt,
Was man ja für die Formel braucht, so dass es Sinn ergibt,
Wenn wir das stehen lassen und uns nur noch um den großen Bruch
Kümmern, den wir erst aufteilen und jetzt würden wir alles
Verschlimmern, wenn wir im zweiten Bruch die Differenz einfach mal
Umdrehen, denn das ändert das Vorzeichen,
Doch wenn wir's nochmal umdrehen, stimmt's wieder.
Und jetzt klammern wir aus: Einmal v,
Einmal u, es kommt das hierbei raus. ...
Und?
Fällt dir was auf?
Da tauchen Differenzenquotienten auf!
Und zwar einmal von u und einmal v und die
Grenzwerte sind jeweils die Ableitung - genau.
Und schon steht hier halt unser Ergebnis
Parat: u'v minus uv' geteilt durch v Quadrat!
(U'v-uv')/v²
Die Ableitung von u/v ist:
(U'v-uv')/v²