Dieses Lied geht raus an alle
Die eine Kugel mit einem bestimmten Radius r vor sich haben
Und irgendwas machen wollen
Ich wollte euch nur sagen
Ich hab die Formel fürs Volumen einer Kugel dabei
Vier Drittel Pi mal r hoch drei
Für den Oberflächeninhalt hab ich auch was parat
4 Pi mal r Quadrat
Wir schneiden mal ne Halbkugel in einer bestimmten Höhe auf
Und da kommt dann natürlich ein Kreis heraus
Und dessen Radius nennen wir mal a
Und mit dem Radius der Kugel und der Höhe h
Ist das ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt nach Pythagoras
A Quadrat ist r Quadrat minus h Quadrat. So ein Spaß:D
Und das merken wir uns mal, denn wir brauchen das bald
Denn Pi mal a Quadrat ist doch der Flächeininhalt
Von dem Kreis und jetzt setzen wir die Formel dort ein
Multiplizieren aus und jetzt leuchtet es doch ein
Dass wir hier jeweils Pi mal irgendetwas ins Quadrat haben
Also könnte man auch grad sagen
Das wären zwei Kreise und man nimmt den einen weg
Da kommt ein Kreisring raus, also haben wir entdeckt
Da das in jeder Ebene geht, dass dann ein Körper entsteht
Und der sieht aus wie ein Zylinder, wo ein Kreiskegel fehlt
Mit diesem Ding, was wir uns grade konstruiert haben
Machen wir wir jetzt weiter und da würde ich mal sagen
Das Volumen vom Zylinder ist Grundfläche mal Höhe
Und vom Kegel ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe
Die Grundfläche ist beides mal ein Kreis - Pi mal r Quadrat
Und die Höhe immer r. Da merk ich grad
Pi mal r Quadrat mal r ist Pi mal r hoch drei
Minus ein Drittel davon da sind wir bei
Zwei Drittel Pi mal r hoch drei. OK.
Doch da die Schnittfläche in jeder Ebene gleich ist, seh
Ich nach dem Prinzip von Cavalieri: Die Volumina sind gleich
Aha. Doch da ich ja das eine bereits weiß
Hat die Halbkugel demnach den gleichen Rauminhalt
Zwei Drittel Pi mal r hoch drei und jetzt schau ich halt
Mal auf die ganze Kugel, was ja Doppelte ist
Also vier Drittel Pi mal r hoch drei. YES!
Ich hab die Formel fürs Volumen einer Kugel dabei
Vier Drittel Pi mal r hoch drei
Für den Oberflächeninhalt hab ich auch was parat
4 Pi mal r Quadrat
Stell dir die Kugel mal als unendlich viele
Infinitesimale Pyramiden vor,
Die Spitzen in der Mitte, die Grundflächen außen
Und da das Pyramiden sind, weißt du sofort
Das Volumen ist ein Drittel mal die Grundfläche mal r
Denn der Kugelradius ist hier die Höhe und daher
Gilt das in jeder Pyramide und es wird insgesamt
Da die Grundflächen die Kugeloberfläche sind, interessant
Denn da kommt was für die ganze Kugel her
Das Volumen ist ein Drittel mal Oberfläche mal r
Doch es ist ja auch vier Drittel Pi mal r hoch drei. klar
Also steht die Gleichung mit nur einer Unbekannten da
Das stellen wir um, indem wir erst mit 3 multiplizieren
Und schon sehen wir, wenn wir noch kurz mit r dividieren
4 Pi mal r Quadrat ist der Oberflächeninhalt
Lange Rede, kurzer Sinn: Die Formel stimmt halt
Ich hab die Formel fürs Volumen einer Kugel dabei
Vier Drittel Pi mal r hoch drei
Und für den Oberflächeninhalt hab ich auch was parat
4 Pi mal r Quadrat