Unendlich viele Nachkommastellen hat die Eulersche Zahl
Und, weil sich nichts immer wieder wiederholt, ist sie irrational.
Einen Beweis dafür hab ich natürlich auch gleich mitgebracht
Und die Eulersche Zahl ist ca. 2, 718.
Das erste, was zu klären wär, ist: Was ist eigentlich e?
Und, um das zu verstehen, brauchen wir die Fakultät.
Steht hinter einer Zahl ein Ausrufezeichen, heißt das Fakultät,
Worunter man das Produkt
Der Zahlen von 1 bis n versteht,
Zum Beispiel 4! ist 4∙3∙2∙1
Und ich geh mal davon aus, dass du das verstehst und jetzt weißt.
E ist die Summe der Kehrwerte der Fakultäten von 0 bis unendlich
Und das als Bruch zu schreiben, tut mir leid, aber das geht nicht.
Denn dafür bräuchtest du nen Bruch -- z.B. p
/Q mit ner ganzen Zahl als p und nem natürlichen q dazu.
Bei unserer Summe gehören ja alle natürlichen Zahlen dazu
- Von daher finden wir an irgendner Stelle auch unser q.
Und alles bis dahin wird subtrahiert und
Auf beiden Seiten jetzt mit q! multipliziert.
Da schauen wir doch mal, wie wir weiterkommen,
Konzentrieren wir uns erst mal auf den Bruch ganz vorn:
P∙q∙(q-1)∙(q-2) ... und so weiter.
Da sehen wir schon: da ist das q dabei,
Da können wir das kürzen und das, was hier noch steht,
Ist, wenn man's kurz macht: p∙(q-1)!
In den nächsten Schritten dividiert man
Fakultäten und vielleicht denkst du dir: Kann man da kürzen?
Ja, das geht, denn:
Schreibst du die Fakultäten als Produkte, kannst du sehen,
Dass die im Zähler und im Nenner beide bei 1 losgehen.
Da die Fakultät im Nenner jeweils kleiner ist als die im Zähler,
Kürzt sich der ganze Nenner raus und letzten Endes steht da
Nur noch ne Differenz von Produkten ganzer Zahlen da
Und das ist dann ja wieder eine ganze Zahl -- na klar!
Da hab ich alles, was ich für die linke Seite brauch, doch:
Die rechte Seite mache ich natürlich auch noch.
Unendlich viele Nachkommastellen hat die Eulersche Zahl
Und, weil sich nichts immer wieder wiederholt, ist sie irrational.
Einen Beweis dafür hab ich natürlich auch gleich mitgebracht
Und die Eulersche Zahl ist ca. 2, 718.
Hier geht das doch fast nach demselben Prinzip,
Weil es im Zähler und im Nenner Fakultäten gibt,
Nur, dass in diesem Fall der Zähler, also q!,
Bei jedem dieser Brüche auch im Nenner steht.
Wenn wir das kürzen, dann bleibt im Zähler immer nur die 1 stehen,
Während wir im Nenner jeweils ein Produkt
Sehen, was 1, dann 2, dann 3 usw. Faktoren enthält,
Bei denen man dann gleich ziemlich schnell feststellt,
Dass jeder Faktor mindestens 2 ist,
Weil hier jedes Mal ja neben q noch mal was dabei ist.
Das heißt: Setzt du für jeden Faktor eine 2 ein,
Wird der Nenner dieser Brüche jeweils kleiner sein,
Also vergrößern sich die ganzen Brüche damit im Nu
Und diese Summe mit den 2en ist größer als die mit dem q.
Zum Verdeutlichen, was diese Reihe ergibt, werd ich mal versuchen,
Das graphisch darzustellen -- und zwar mit einem Kuchen.
Zum Dienste der Wissenschaft werde ich jetzt diesen
Kuchen verzehren und dabei gleich die Reihe hier erklären,
Denn esse ich erst die Hälfte und dann gleich ein Viertel
Hinterher,
Dann noch Achtel und ein Sechzehntel, dann esse ich immer mehr,
Aber nach jedem Stück ist der Rest,
Den ich noch essen mag, so groß,
Wie das Stück, das ich grade gegessen hab.
Es kann also das, was noch zum ganzen Kuchen fehlt,
Beliebig klein sein und damit muss
Die unendliche Summe letztlich 1 sein.
Die Summe mit den q's ist also kleiner als das,
Doch, weil die Summanden positiv sind, noch größer als 0, oder was?
Aber auf der linken Seite stehen nur ganze Zahlen,
Doch weil wir zwischen 0 und 1 davon keine haben,
Kann, ganz egal, mit welchem p und q wir das probieren,
Die Gleichheit an dieser Stelle nicht funktionieren.
Die Annahme, e wäre p/q ist also nicht OK und
Damit ist die Eulersche Zahl irrational. q.e.d.
Unendlich viele Nachkommastellen hat die Eulersche Zahl
Und, weil sich nichts immer wieder wiederholt, ist sie irrational.
Einen Beweis dafür hab ich natürlich auch gleich mitgebracht
Ungefähr.