Den meisten ist das zwar egal,
Doch die Wurzel aus 2 ist irrational
Und vielleicht braucht man das auch nur selten,
Doch dieser Satz wird immer gelten.
Den meisten ist das zwar egal,
Doch die Wurzel aus 2 ist irrational
Und vielleicht braucht man das auch nur selten,
Doch dieser Satz wird immer gelten.
Die Wurzel aus 2 ist so definiert,
Dass sie 2 ergibt, wenn man sie quadriert.
Wäre sie rational, gäbe es irgendeinen Bruch,
Der dann auch diese Gleichung erfüllen muss
Und jetzt sagen wir mal, dass, wenn der Bruch gekürzt ist,
Im Zähler ein p und im Nenner ein q ist.
Gekürzt heißt für q und p,
Dass ich da keinen gemeinsamen Teiler seh.
Den meisten ist das zwar egal,
Doch die Wurzel aus 2 ist irrational
Und vielleicht braucht man das auch nur selten,
Doch dieser Satz wird immer gelten.
Den meisten ist das zwar egal,
Doch die Wurzel aus 2 ist irrational
Und vielleicht braucht man das auch nur selten,
Doch dieser Satz wird immer gelten.
Wird jetzt erst mal der Bruch quadriert
Und q² dann multipliziert,
Wird q² mal 2 genommen
Und schon ist man zu p² gekommen.
Also heißt das dann für p²,
Dass es immer die 2 als Teiler hat
Und, wenn die 2 ein Teiler von p² ist,
Heißt das auch, dass die 2 ein Teiler von p ist.
Demnach gibt es eine natürliche Zahl,
Die mal 2 genommen p ist. Nennen wir sie a.
Nehmen wir p=2a und setzen das hier ein,
Merken wir: Das passt nur mit Klammern hier rein.
Um die loszuwerden, wird jeder Faktor quadriert
Und auf beiden Seiten nun mit 2 dividiert.
Was wir jetzt hier sehen, das kennen wir ja schon.
Im q² muss die 2 als Teiler vorkommen.
Im q steckt also auch der Teiler 2
Und an dieser Stelle ist es vorbei,
Denn die 2 passt ja als Teiler auch ins p noch rein,
Aber p und q sollen doch teilerfremd sein.
Woran liegt das wohl? Da gibt's nur einen Schluss,
Nämlich, dass die Annahme falsch sein muss,
Man könne die Wurzel aus 2 als Bruch schreiben,
Das heißt, sie ist irrational, das kann jetzt keiner mehr bestreiten.
Den meisten ist das zwar egal,
Doch die Wurzel aus 2 ist irrational
Und vielleicht braucht man das auch nur selten,
Doch dieser Satz wird immer gelten.
Den meisten ist das zwar egal,
Doch die Wurzel aus 2 ist irrational
Und vielleicht braucht man das auch nur selten,
Doch dieser Satz wird immer gelten.
Den meisten ist das zwar egal, doch die Eulersche Zahl ist ebenfalls irrational.