Nimm dir mal Eins plus ein Halb plus ein
Viertel plus ein Achteil plus ein Sechszehntel.
Man merkt,
Wenn man das immer weiter macht schnell, dass das niemals endet
Und genau das ist das Dumme:
Woher weiß ich denn, was rauskommt bei einer unendlichen Summe?
Nun, vielleicht hilft es, wenn wir das visualisieren
Und da könnte man es ja mit einem Kuchen probieren.
Nimmt man einen und nen halben und ein Viertel und ein Achtel,
Dann sieht man, wenn man das macht, schnell:
Man erreicht zwar nie die 2,
Doch kommt immer näher ran,
Weshalb man sich die 2
Einfach als Grenzwert nehmen kann
Und man sagt dann, diese Reihe konvergiert gegen 2
Und deshalb ist die unendliche Summe genau 2
Und schau mal: die Summanden sind Potenzen von ein Halb.
Nimmt man sich einfach mal ein x statt ein Halb,
Dann sieht man, dass x hoch i die Summanden darstellt,
Wobei die Summe i von 0 bis unendlich hochzählt
Und das Ding nennt man jetzt die geometrische Reihe
Und pass mal auf, was ich dir jetzt zeige,
Denn jetzt geht es darum, ob diese Reihe konvergiert
Und es gilt garantiert:
Die geometrische Reihe konvergiert
Gegen 1 durch 1 minus x
Zumindest, wenn der Betrag von x kleiner als 1 ist,
Ansonsten konvergiert da nichts.
Die geometrische Reihe konvergiert
Gegen 1 durch 1 minus x
Zumindest, wenn der Betrag von x kleiner als 1 ist,
Ansonsten konvergiert da nichts.
Bevor wie sehen, wogegen die Summe mit unendlich konvergiert,
Schauen wir, was passiert, wenn man nur bis n addiert
Und diese Summe dann mit 1 minus x multipliziert,
Denn, wenn man insgesamt jetzt ausmultipliziert,
Steht da einmal das Ding minus x-mal das Ding
Und jetzt schauen wir hier hinten mal genauer hin.
Hier steht x mit Exponenten von 0 an bis n,
Wobei ich durch den Vorfaktor x ja erkenn:
Der Exponent erhöht sich hier um 1 jedesmal.
Schreibt man sich das mit i einfach von 1 an wird klar,
Dass man hier ja fast die gleiche Summe wieder subtrahiert,
Sodass man alles bis auf das hier verliert
Und jetzt dividiert man mit 1 minus x
Und ab hier geht es relativ fix,
Denn für Betrag von x kleiner als 1 steht hier ne Nullfolge
Und es gilt demzufolge:
Die geometrische Reihe konvergiert
Gegen 1 durch 1 minus x
Zumindest, wenn der Betrag von x kleiner als 1 ist,
Ansonsten konvergiert da nichts.
Die geometrische Reihe konvergiert
Gegen 1 durch 1 minus x
Zumindest, wenn der Betrag von x kleiner als 1 ist,
Ansonsten konvergiert da nichts.