3, 141592 und so weiter
3, 14 und so weiter ist eine Zahl namens Pi, und
Pi ist irrational
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen bei dieser Zahl, denn
Pi ist irrational
Und der Beweis des Ganzen ist nun wirklich nicht trivial
Doch es gilt ohne Zweifel
Pi ist irrational
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung und Integral
Und dann zeigen wir
Pi ist irrational
Nehmen wir mal das Gegenteil an
Dass man Pi vielleicht ja doch als Bruch natürlicher Zahlen
Schreiben kann
Wie a geteilt durch b und mal seh'n, wie's weiter geht
Wie wär's mit Pi hoch n mal a hoch n durch n Fakultät? Hm
Da wächst der Nenner durch die Fakultät sogar schneller als der
Zähler
Und für große n geht ist, dass der ganze Bruch dann kleiner wird als 1 durch Pi
Und so wählen wir uns das n und jetzt definiert man f(x) als x hoch n mal a minus bx hoch n
Durch die Fakultät von n und jetzt können wir erkennen
Zwischen 0 und Pi ist f und auch der Sinus jeweils positiv
Also ist auch das Produkt wieder positiv
Und x ist kleiner als Pi, a-bx ist kleiner als a
Der Sinus ist kleiner gleich 1 und dann steht auch noch n Fakultät da
Und das Ganze haben wir kleiner als 1 durch Pi konstruiert
Was sich als gut erweist, wenn man Sinus mal f integriert
Denn dieses Integral ist kleiner als das mit 1 durch Pi
Aber das ist genau 1, wie man relativ leicht sieht
Und das Produkt ist größer 0 und damit auch das Integral
Aber was uns das jetzt bringt?
Naja, schau'n wir mal
3, 14 und so weiter ist eine Zahl namens Pi, und
Pi ist irrational
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen bei dieser Zahl, denn
Pi ist irrational
Und der Beweis des Ganzen ist nun wirklich nicht trivial
Doch es gilt ohne Zweifel
Pi ist irrational
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung und Integral
Und dann zeigen wir
Pi ist irrational
Sieht man sich das f genau an
Dann sieht man, dass man das hoch n hier ausmultiplizieren kann
Und das wird 'ne Summe, bei deren Summanden ich erkenn'
Das sind ganze Zahlen mal x mit Exponent bis zu n
Und nehm' ich das mal x hoch n, kann ich weiter erkenn'
Die Exponenten laufen jetzt von n an bis zu 2n
Und da die Fakutät konstant ist und ich sonst alles addiere
Kann ich auf jeden Summanden einzeln seh'n, wenn ich differenziere
Und mit jeder Ableitung kommt der Exponent als Faktor davor
Und wird dann um 1 kleiner und jetzt stell' dir vor was passiert
Wenn man weniger als n-mal die Ableitung macht
Dann steht überall noch das x und das hat uns gebracht
Dass wenn wir 0 einsetzen, dann hier 0 raus kommt
Und die Frage ist, was bei der n-ten Ableitung raus kommt
Denn da verschwindet dann das x in dem allerersten Term
Doch durch n-maliges Ableiten kann man sich erklären
Dass hier insgesamt n Fakultät als Faktor steht
Was man mit dem Nenner kürzt und
Wenn ich 0 einsetze steht hier eine ganze Zahl
Und macht man das Ganze mal auch bis zur (2n)-ten Ableitung
Dann wird ganz schnell klar: Das sind alles ganze Zahlen
Und leite ich dann noch weiter ab
Ist es so, dass ich echt nur noch 0 hab'
Und das Ganze geht genauso auch an der Stelle Pi
Denn f ist symmetrisch, was man relativ leicht sieht
Wenn man in f einfach Pi minus x einsetzt und bisschen umfomrt
Denn dann sieht man nämlich jetzt: Das ist f(x) und daher die Symmetrie
Vielleicht brauchen wir das noch, man weiß ja nie
Erstmal schau'n wir, was mit diesem Integral passiert
Wenn man es direkt lösen will und partiell integriert
Man nimmt für eine der Funktionen eine Stammfunktion
Und bildet das Produkt mit der anderen Funktion
Minus das Integral von der Stammfunktion
Mal die Ableitung der anderen Funktion
Und setzt man hier vorn die Integralgrenzen ein
Dann merkt man: Das müssen ganze Zahlen sein
Und nimmt für eine der Funktionen wieder 'ne Stammfunktion
Und bildet das Produkt mit der anderen Funktion
Minus das Integral von der Stammfunktion
Mal die Ableitung der anderen Funktion
Und setzt man hier vorn die Integralgrenzen ein
Dann merkt man: Das müssen ganze Zahlen sein
Und so weiter
Wenn man das (2n+1)-mal macht
Dann hat man es durch die Ableitungen beim f soweit geschafft
Dass nur noch 0 da steht und dann fällt der Rest weg
Also hat man dann hier insgesamt entdeckt
Dieses Integral ist immer eine ganze Zahl
Doch warte mal, wir hatten dieses Integral schon mal
Im ersten Teil hatten wir doch eindeutig gezeigt
Dieses Integral liegt zwischen 0 und 1
Aber das kann ja nicht sein und da gibt's nur einen Schluss
Die Annahme, Pi wäre rational ist einfach Stuss
Das führt zu Widersprüchen, also ist das Gegenteil wahr
Pi ist irrational
Was zu beweisen war
Yeah, alles klar?
3, 14 und so weiter ist eine Zahl namens Pi, und
Pi ist irrational
Es gibt unendlich viele Nachkommastellen bei dieser Zahl, denn
Pi ist irrational
Und der Beweis des Ganzen ist nun wirklich nicht trivial
Doch es gilt ohne Zweifel
Pi ist irrational
Zum Beweisen brauchen wir Ableitung und Integral
Und dann zeigen wir
Pi ist irrational