Vielleicht kennst du die reellen Zahlen – die sind ja beliebt
So wie 2 oder Minus ein Drittel oder Pi
Aber was es bei reellen Zahlen leider nicht gibt
Ist eine Zahl, die quadriert −1 ergibt
Doch bevor man so 'ne Gleichung einfach gar nicht lösen kann
Fangen wir an, mit dem, was man in Mathematik jederzeit kann
Wir definieren einfach was und diese immerwährende Freiheit
Nutzen wir und sagen: Es gibt jetzt eine imaginäre Einheit
I und i² ist −1
Und vielleicht fragst du dich: Bitte wo soll das denn sein?
Auf dem Zahlenstrahl ist doch gar kein Platz mehr für i!
Ja, ich weiß. Weil i nämlich außerhalb liegt
Aber nicht einzeln isoliert, denn wir müssen nicht nur i
Sondern zum Rechnen auch noch Vielfache von i mit definieren
Und wenn man mit reellen Zahlen jeweils addieren können soll
Steht hier die Menge der komplexen Zahlen. Ist doch toll!
Komplexe Zahlen sind definiert
Als jeweils reelle Zahl plus ein Vielfaches von i
Und durch Real- und Imaginärteil haben wir es nun
Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun
OK. Bisher hat man nur eine Menge, aber dann
Ist ja das Schöne daran, dass man hier auch rechnen kann
Die Addition ist dabei jeweils so definiert
Dass man die Real- und Imaginärteile jeweils addiert
Okay. Und jetzt muss man sich mal überlegen
Was sollte denn die Multiplikation hier ergeben?
Nun ja: Wenn man hier wie gewohnt ausmultipliziert
Wird im letzten Summanden ja das i quadriert
Aber das soll -1 sein und so sieht man ein
Die Multiplikation muss genau so hier sein
Doch was ist, wenn man mit komplexen Zahlen dividiert?
Nun: Da wird der Nenner erst komplex konjugiert
Das heißt: Beim Imaginärteil wird das Vorzeichen gedreht
Und wird der Bruch dann damit erweitert, dann steht
Letzten Endes nur eine reelle Zahl im Nenner da
Und somit ist die Division jetzt auch noch klar
Komplexe Zahlen sind definiert
Als jeweils reelle Zahl plus ein Vielfaches von i
Und durch Real- und Imaginärteil haben wir es nun
Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun
Aber leider kann man komplexe Zahlen nicht vergleichen!
Doch um sowas wie die "Größe" anzugeben, kann es manchmal reichen
Den Betrag zu nehmen und das ist
Die Entfernung bis zur Null und diese misst
Man im rechtwinkligen Dreieck mit Real- und Imaginärteilen
Als Wurzel aus der Summe der Quadrate der beiden
Und genau so ist der Betrag definiert und ich seh gleich
Alle Zahlen mit dem gleichen Betrag liegen auf einem Kreis
Und dessen Radius ist der Betrag
Und wenn ich dazu auch noch den Winkel hab
Der sich dann hier mit der Achse des Realteils ergibt
Dann weiß ich ja genau, wo die Zahl dann liegt
Und genau diese beiden Angaben
Von Radius und Winkel sind die Polarkoordinaten
Wo der Radius streckt und der Winkel rotiert
Soweit alles gecheckt und im Kopf notiert?
Komplexe Zahlen sind definiert
Als jeweils reelle Zahl plus ein Vielfaches von i
Und durch Real- und Imaginärteil haben wir es nun
Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun
Und übrigens kann man auch vieles bildlich sehen
Die Addition kann man zum Beispiel als Verschiebung verstehen
Oder die Zahlen so wie Vektoren im R² bequem
Hier als Pfeile aneinander setzen – würde auch gehen
Und die Multiplikation ist dann auch ganz nett
Man fixiert die 0 und schiebt die 1 aufs z
Und in Polarkoordinaten sieht man, was hier passiert
Beim Radius wird multipliziert, aber bei beim Winkel: Addiert!
Hier wird aus "Mal" quasi "Plus" gemacht
Genau das, was die Exponentialfunktion macht
Setzt man i mal phi nämlich in diese ein
Wird das mit Betrag 1 genau der Winkel phi sein
Und mit dem Radius skaliert können wir die Polarform angeben
Und zum Schluss würde ich jetzt e hoch i mal Pi noch nehmen
Denn Pi ist ein voller Winkel und deswegen steht
Man hier bei −1. Die Eulersche Identität
Komplexe Zahlen sind definiert
Als jeweils reelle Zahl plus ein Vielfaches von i
Und durch Real- und Imaginärteil haben wir es nun
Mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun